jueves, 16 de enero de 2014

Triángulos escalenos con altura y lados naturales

Es habitual que en algún momento de la Educación Secundaria se imparta la llamada estrategia de la altura para calcular el área de un triángulo conociendo los lados.

Muchos docentes de Matemáticas, entre los que me incluyo, prefieren plantear problemas en los que las soluciones sean números enteros, o al menos racionales, para que el alumno se pueda concentrar en la resolución del problema y no se distraiga con tediosos cálculos.

Puede resultar interesante, por tanto, encontrar un método que permita obtener triángulos escalenos tales que sus lados y alguna de sus alturas sean números naturales.

Teorema: Sea $h$ un número que aparezca como cateto en dos ternas pitagóricas diferentes. Entonces existe un triángulo natural, una de cuyas alturas mide $h$.

Demostración: Sean $(m,h,b)$ y $(n,h,c)$ dichas ternas.


Consideramos un segmento $AH$ de longitud $h$. Sea $r$ la recta perpendicular a $AH$ que pasa por el punto $H$ y $B$ y $C$ dos puntos de $r$ de tal modo que $H$ esté situado entre $B$ y $C$, y que $BH=m$, $HC=n$ (la existencia de estos puntos está garantizada por los axiomas de transporte de segmentos que se pueden encontrar en muchos manuales de geometría métrica, como el de Puig Adam, por ejemplo).. Entonces, una de las alturas del triángulo $ABC$ mide $h$ y sus lados miden $b$, $c$, y $m+n$, que son números enteros.

Teorema: Sea $h$ un número que cumpla una de estas dos condiciones:

  • Ser impar y tener al menos cuatro divisores.
  • Ser par y que $h/2$ tenga al menos cuatro divisores.
Entonces existen dos ternas pitagóricas diferentes en las que $h$ es cateto.

Demostración: En el primer caso, podemos poner $h=pq=rs$ donde $p$, $q$, $r$ y $s$ son cuatro números impares diferentes dos a dos. En efecto, sea $p$ un divisor de $h$, que no sea $\sqrt h$. Tomamos $q=h/p$. Ahora, como al menos hay dos divisores más, podemos tomar $r$ otro divisor de $h$ distinto de $\sqrt h$, y $s=h/r$. Los cuatro números serán impares y distintos dos a dos.
Se puede comprobar que
$$\left(\frac{|p^2-q^2|}2,h,\frac{p^2+q^2}2\right)$$
y
$$\left(\frac{|r^2-s^2|}2,h,\frac{r^2+s^2}2\right)$$
son ternas pitagóricas.
En el segundo caso, ponemos $h=2pq=2rs$ donde ahora $p$, $q$, $r$ y $s$ son cuatro números diferentes dos a dos. En efecto, sea $h'=h/2$. Como $h'$ tiene al menos cuatro divisores, podemos escribir $h'=pq=rs$ donde $p$, $q$, $r$ y $s$ son cuatro números diferentes dos a dos (no necesariamente impares), y $h=2pq=2rs$.
Entonces
$$(h, |p^2-q^2|, p^2+q^2)$$
y
$$(h, |r^2-s^2|, r^2+s^2)$$
son ternas pitagóricas.

Con estos dos resultados, vemos que para encontrar un triángulo natural basta con:

  1. Tomar un número $k$ que tenga al menos cuatro divisores (es decir, que no sea 1, ni primo, ni el cuadrado de un primo).
  2. Si $k$ es par, lo multiplicamos por 2. Si es impar, podemos multiplicarlo por 2 o no, a voluntad.
  3. Buscamos dos formas de escribir $k$ como producto de números distintos de dos formas distintas.
  4. Con las fórmulas que aparecen en la demostración del segundo teorema, creamos dos ternas pitagóricas que tengan a $2k$ o $k$ (según hayamos hecho o no la multiplicación por 2 del paso 2) como cateto.
  5. Uniendo los triángulos correspondientes a dichas ternas pitagóricas como se muestra en la figura, obtenemos un triángulo natural.
Nótese que podría ser que tanto la base como la altura del triángulo sean impares, con lo que el área no sería natural.

Una curiosa propiedad de los determinantes

En esta entrada las letras $a,b,c\ldots$ designarán cifras de un sistema posicional en base $\beta\geq2$, y $[abc]$ será el número que en esa base tiene dichas cifras:
$$[abc]=a\beta^2+b\beta+c$$

Dicho esto, y fijada la base $\beta$ de numeración, enunciamos el siguiente teorema:

Teorema: El máximo común divisor $\delta$ de los números $[abc]$, $[def]$ y $[ghi]$ divide al determinante
$$\Delta=\left|\begin{array}{ccc} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right|$$

Demostración:
En efecto: sean $C_1$, $C_2$ y $C_3$ las columnas de la matriz. Realizamos las siguientes transformaciones elementales:

  1. A la tercera columna le sumamos $\beta^2C_1$
  2. A la tercera columna le sumamos $\beta C_2$
Con esto, queda que:

$$\Delta=\left|\begin{array}{ccc} a&b&[abc]\\d&e&[def]\\g&h&[ghi]\end{array}\right|$$

Como los tres términos de la tercera columna son divisibles por $\delta$, también lo es $\Delta$.