Una curiosa propiedad de los determinantes

En esta entrada las letras $a,b,c\ldots$ designarán cifras de un sistema posicional en base $\beta\geq2$, y $[abc]$ será el número que en esa base tiene dichas cifras:
$$[abc]=a\beta^2+b\beta+c$$

Dicho esto, y fijada la base $\beta$ de numeración, enunciamos el siguiente teorema:

Teorema: El máximo común divisor $\delta$ de los números $[abc]$, $[def]$ y $[ghi]$ divide al determinante
$$\Delta=\left|\begin{array}{ccc} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{array}\right|$$

Demostración:
En efecto: sean $C_1$, $C_2$ y $C_3$ las columnas de la matriz. Realizamos las siguientes transformaciones elementales:

1. A la tercera columna le sumamos $\beta^2C_1$
2. A la tercera columna le sumamos $\beta C_2$

Con esto, queda que:

$$\Delta=\left|\begin{array}{ccc} a&b&[abc]\\d&e&[def]\\g&h&[ghi]\end{array}\right|$$

Como los tres términos de la tercera columna son divisibles por $\delta$, también lo es $\Delta$.