Ternas Pitagóricas I

Una terna pitagórica (TP) es una terna de números naturales $(a,b,c)$ tales que $a^2+b^2=c^2$  (no consideraremos aquí al 0 como número natural). Por ejemplo, $(3,4,5)$ es una terna pitagórica, ya que $3^2+4^2=5^2$. Se dice que una TP es primitiva si el máximo común divisor de los tres números es 1. Por analogía con el teorema de Pitágoras, llamaremos a $a$ y a $b$ catetos, y a $c$, hipotenusa.

Debido a la relación $a^2+b^2=c^2$, los componentes de una terna pitagórica primitiva (TPP), son primos entre sí dos a dos, ya que si algún número divide a dos de ellos, necesariamente será divisor del otro.

En particular, en una TPP sólo puede haber un término par. Y de hecho, tiene que haberlo, ya que la suma de dos impares es par.

Si dividimos los términos de una TP entre su máximo común divisor, obtenemos una TPP. En efecto, si llamamos $d$ a dicho m.c.d., se cumple la relación

$$\left(\frac ad\right)^2+\left(\frac bd\right)^2=\left(\frac cd\right)^2$$

y los números $(a/d, b/d, c/d)$ son primos entre sí.

La suma de los cuadrados de dos números impares es

$$(2m-1)^2+(2n-1)^2=4(m^2+n^2-2mn)+2$$

es decir, es par, pero no múltiplo de 4, así que no puede ser un cuadrado perfecto. De ello se deduce que los catetos de una TP no pueden ser ambos impares.

Luego en una TPP habrá un cateto par y otro impar, y la hipotenusa será impar.

Estamos listos para enunciar y demostrar el siguiente teorema:

Teorema: Si $(a,b,c)$ es una TP, entonces existen números naturales $d$, $u$ y $v$ tales que

$$\left\{\begin{array}{rcl}a&=&d\cdot 2uv\\ b&=&d(u^2-v^2)\\c&=&d(u^2+v^2)\end{array}\right.$$

Y, recíprocamente, para cualesquiera números naturales $d$, $u$, $v$ con $u>v$ la terna $[d\cdot 2uv, d(u^2-v^2), d(u^2+v^2)]$ es una TP, que será primitiva cuando $d=1$ y $u$ y $v$ sean primos entre sí y tengan distinta paridad.

Demostración:

Supondremos inicialmente que $(a,b,c)$ es una TPP con $a$ par. Sea $m=a/2$. Entonces

$$4m^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)$$

Como $a$ es par, los números $b$ y $c$ son impares, por lo que $c-b$ y $c+b$ serán ambos pares, con lo cual queda

$$m^2=\frac{c-b}2\cdot\frac{c+b}2$$

Como $b$ y $c$ son primos entre sí, $(c-b)/2$ y $(c+b)/2$ también lo son. En efecto, si $p$ fuera un primo que dividiera a $(c-b)/2$ y a $(c+b)/2$, dicho $p$ sería divisor de la suma de ambos ($c$) y de la diferencia ($b$), lo cual es imposible.

Resulta entonces que los números $(c-b)/2$ y $(c+b)/2$ son primos entre sí y su producto es $m^2$, un cuadrado perfecto. Esto implica que $(c-b)/2$ y $(c+b)/2$ son, a su vez, cuadrados perfectos. Ponemos que

$$\left\{\begin{array}{rcl}u&=&\sqrt{\frac{c+b}2}\\ v&=&\sqrt{\frac{c-b}2}\end{array}\right.$$

De aquí se deduce fácilmente que

$$\left\{\begin{array}{rcl}a&=&2uv\\ b&=&u^2-v^2\\c&=&u^2+v^2\end{array}\right.$$

Si $(a,b,c)$ es una TP, no necesariamente primitiva, y $d=\text{mcd}(a,b,c)$, entonces $(a/d,b/d,c/d)$ es una TPP. Intercambiamos $a/d$ y $b/d$ si es necesario para que la primera componente de la terna sea par, y aplicamos lo ya demostrado. Tendremos

$$\left\{\begin{array}{rcl}\frac ad&=&2uv\\ \frac bd&=&u^2-v^2\\ \frac cd&=&u^2+v^2\end{array}\right.$$

lo que demuestra la primera parte del teorema. Así mismo, se puede comprobar fácilmente que

$$[d(u^2-v^2)]^2+(d\cdot 2uv)^2=[d(u^2+v^2)]^2$$

Además, si $u$ y $v$ tienen distinta paridad y son primos entre sí, y suponemos que $p$ divide a $u^2-v^2$ y a $u^2+v^2$ (es decir, que la terna no es primitiva). deducimos que $p$ también dividiría a $2u^2$ (la suma) y a $2v^2$ (la diferencia). El número $p$ no puede ser $2$ porque $u^2-v^2$ es impar, por lo que $p$ divide a $u$ y $v$, lo cual es imposible. Por tanto, en estas condiciones, es una TPP.

Con esto termina la prueba.