El baricentro

Las medianas de un triángulo son rectas que pasan por un vértice y por el punto medio del lado opuesto. Cada una de ellas divide al triángulo en otros dos de igual área y las tres concurren en un punto llamado baricentro, lo que probaremos a continuación.

Es habitual también considerar que la mediana es sólo el segmento que une el vértice y el punto medio del lado opuesto, y no la recta completa.

Teorema: Las medianas de un triángulo concurren en un punto llamado baricentro, que divide a éstas en dos partes, siendo una de ellas el doble de la otra.

Demostración: Los triángulos $\triangle ABC$ y $\triangle AM_bM_c$ son semejamtes porque comparten el ángulo $\hat A$ y $AM_c / AB= AM_b/AC=1/2$, así que el segmento $M_bM_c$ es paralelo a $BC$ y mide la mitad.

Los puntos $P$ y $Q$ son los puntos medios de $BG$ y $CG$, respectivamente. Razonando como antes, observamos que los triángulos $\triangle GBC$ y $\triangle GPQ$ también son semejantes, y el segmento $PQ$ es paralelo y mide la mitad que $BC$.

Como $PQ$ y $M_bM_c$ son paralelos e iguales, el cuadrilátero $PQM_bM_c$ es un paralelogramo, cuyas diagonales se cortan en $G$, que es, por tanto, el punto medio de las mismas. Resulta entonces

$$\begin{array}{c}M_cG=GQ=QC=\frac13CM_c\\M_bG=GP=PB=\frac13BM_b\end{array}$$

o sea, que $2GM_b=BG$ y $2GM_c=CG$

Si las medianas $AM_a$ y $BM_b$ se cortaran en otro punto $G'$, tendríamos que $BG'=2G'M_b$, así que $G=G'$.