El circuncentro

Si $\triangle ABC$ es un triángulo con lados $a$, $b$, $c$, y $m_a$, $m_b$ son las mediatrices de los lados $a$ y $b$, respectivamente, éstas se cortan, ya que si fueran paralelas, lo serían los lados, lo que en un triángulo es imposible.

El punto de corte $O$ equidista de $B$ y $C$ por estar en $m_a$, y equidista de $A$ y $C$ por estar en $m_b$. Es decir:

$$AO=BO=CO$$

Por ello, existe una (única) circunferencia que pasa por los tres vértices, llamada circunferencia circunscrita. La llamaremos $\omega$.

Los ángulos $\hat A$, $\hat B$ y $\hat C$ están inscritos en $\omega$. Por esto, si alguno de ellos es obtuso (pongamos que sea, por ejemplo, $\hat A$), el ángulo central $\angle BOC$ será cóncavo. El circuncentro estará fuera del triángulo. En cambio, si el triángulo es acutángulo, el circuncentro estará en el interior del triángulo. Y si el ángulo $\hat A$ es recto, el ángulo $\angle BOC$ será llano, es decir, que $O$ sería el punto medio de la hipotenusa $a$. Si lo desea, puede mover los vértices del triángulo en el applet para comprobarlo experimentalmente.

El radio $R$ de la circunferencia circunscrita se puede calcular con sólo dos datos: cualquiera de los tres lados y su ángulo opuesto.

En efecto. Sea $A'$ el punto diametralmente opuesto a $C$ en $\omega$. El triángulo $\triangle A'BC$ es rectángulo y tiene la misma circunferencia circunscrita. Además, los ángulos $\hat A$ y $\angle BA'C$ son iguales por ser inscritos que abarcan el mismo arco. Entonces

$$2R=\frac{BC}{\text{sen}\angle BA'C}=\frac{a}{\text{sen}\hat A}$$

El teorema de los senos asegura que

$$\frac{a}{\text{sen}\hat A}=\frac{b}{\text{sen}\hat B}=\frac{c}{\text{sen}\hat C}$$

es decir, que el cociente entre un lado y el seno de su ángulo opuesto es constante. Dicha constante no es otra cosa que el diámetro de la circunferencia circunscrita.