El incentro

En un triángulo $\triangle ABC$, consideramos las bisectrices $b_A$ y $b_B$ de los ángulos $\hat A$ y $\hat B$, respectivamente. Dichas bisectrices cortan siempre al lado opuesto en algún punto comprendido entre los vértices, por lo que $b_A$ y $b_B$ se cortan en un punto $I$ interior al triángulo, llamado incentro. Como todos los puntos de la bisectriz de un ángulo equidistan de sus lados, el punto $I$ está a una distancia $r$ de cada uno de los lados del triángulo. Por tanto, la circunferencia con centro en $I$ y radio $r$ es tangente a los lados en puntos que llamaremos $T_A$, $T_B$ y $T_C$.
 

Por ser segmentos de tangente, tenemos las igualdades:

$$\begin{array}{rcl}AT_b&=&AT_c\\BT_a&=&BT_c\\CT_a&=&CT_b\end{array}$$

También es posible descomponer el área del triángulo:

$$[ABC]=[AIB]+[BIC]+[AIC]=\frac 12(ar+br+cr)=\frac{Pr}2$$

donde la notación $[XYZ]$ hace referencia al área del triángulo $\triangle XYZ$ y $P$ es el perímetro del triángulo $\triangle ABC$.

Quizá sea éste un buen lugar para enunciar y demostrar el teorema de la bisectriz:

Teorema: Sea $B_a$ el punto de corte de la bisectriz $b_A$ con el lado $a$. Los segmentos $BB_a$ y $B_aC$ están en la misma proporción que los lados $b$ y $c$.

Demostración: Aplicando el teorema de los senos al triángulo $ABB_a$ obtenemos

$$\frac {BB_a}{\text{sen}(\hat A/2)}=\frac{AB_a}{\text{sen}\hat B}$$

y haciendo lo mismo en el triángulo $AB_aC$,

$$\frac {B_aC}{\text{sen}(\hat A/2)}=\frac{AB_a}{\text{sen}\hat C}$$

de donde

$$\frac{BB_a}{B_aC}=\frac {\text{sen}\hat B}{\text{sen}\hat C}$$

y de nuevo por el teorema de los senos,

$$\frac{BB_a}{B_aC}=\frac bc$$

En particular, se deduce que la bisectriz corta en el punto medio del lado si y sólo si $b=c$ (aunque, desde luego, hay formas mucho más elementales de probarlo).

Ejercicio: En un triángulo rectángulo de lados $3$, $4$ y $5$, calcular la longitud del segmento de bisectriz del ángulo recto.