El ortocentro

Una altura de un triángulo $\triangle ABC$ es una recta perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto. Como demostraremos a continuación, las tres alturas concurren en un punto $P$ llamado ortocentro.



Si el triángulo es acutángulo, los pies de las alturas $H_a$, $H_b$ y $H_c$ son los vértices de un triángulo llamado triángulo órtico, y el ortocetro de $\triangle ABC$ coincide con el incentro de $\triangle H_aH_bH_c$.

Por los puntos $A$, $B$ y $C$ trazamos paralelas a los lados $a$, $b$ y $c$, respectivamente, que se cortan en $A'$, $B'$ y $C'$. Como los cuadriláteros $ABCC'$, $ABCB'$ y $ABA'C$ son paralelogramos, resulta que $AC'$=$BC$=$AB'$, es decir, que $A$ es el punto medio de $B'C'$. Del mismo modo se razona que $B$ es el punto medio de $A'C'$ y $C$, el de $A'B'$. Es decir, que las alturas de $\triangle ABC$ son las mediatrices de $\triangle A'B'C'$, lo que prueba que concurren, y que el ortocentro de $\triangle ABC$ es el circuncentro de $\triangle A'B'C'$.

La prueba de que $P$ es el incentro del triángulo órtico es más complicada (al menos, la que yo he encontrado).  Empezaremos demostrando una sencilla relación entre los lados del triángulo órtico y los lados y ángulos de $\triangle ABC$.

Teorema: Con la notación ya mencionada,
$$\begin{array}{rcl}a\,\cos\hat A&=&H_bH_c\\b\,\cos\hat B&=&H_aH_c\\c\,\cos\hat C&=&H_aH_b\end{array}$$

Demostración: Demostraremos sólo la primera igualdad, ya que la prueba de las otras dos es totalmente análoga.
Aplicando el teorema del coseno en el triángulo $\triangle AH_bH_c$ obtenemos que
$${H_bH_c}^2={AH_b}^2+{AH_c}^2-2AH_b\cdot AH_c\,\cos\hat A$$
pero $AH_b=c\,\cos\hat A$ y $AH_c=b\,\cos\hat A$, así que
$$\begin{array}{rcl} {H_bH_c}^2&=&c^2\,\cos^2\hat A+b^2\,\cos^2\hat A-2bc\,\cos^3\hat A=\\ &=&\cos^2\hat A(b^2+c^2-2bc\,\cos\hat A)=\\ &=&a^2\cos^2\hat A \end{array}$$

Como el triángulo es acutángulo, $\cos\hat A$ es positivo, y entonces $a\,\cos\hat A=H_bH_c$, como se quería probar.

Ahora, si aplicamos el teorema de los senos al triángulo $\triangle AH_aH_b$,
$$\frac {AH_b}{\text{sen}\angle AH_aH_b}=\frac {H_aH_b}{\text{sen}\angle H_bAH_a}$$
y aplicando el teorema anterior y teniendo en cuenta que $\angle H_bAH_a$ y $\hat C$ son complementarios:
$$\frac {c\,\cos\hat A}{\text{sen}\angle AH_aH_b}=\frac {c\,\cos\hat C}{\cos\hat C}$$
o sea, que $\cos\hat A=\text{sen}\angle AH_aH_b$, por lo que estos ángulos son complementarios. Del mismo modo vemos que $\hat A$ y $\angle AH_aH_c$ son complementarios, por lo que $\angle AH_aH_b=\angle AH_aH_c$ y la bisectriz de $\angle H_bH_aH_c$ es $AH_a$, es decir, la altura sobre $a$ del triángulo $\triangle ABC$.

Del mismo modo se comprueba que las otras alturas son las otras bisectrices del triángulo órtico.