Ya hemos caracterizado los números que pueden ser hipotenusas de una TPP. Nos queda la tarea --mucho más simple-- de hacer lo mismo con los catetos.
La manera más obvia (y más sencilla) de diferenciar a los catetos de una TPP es la paridad, ya que, como hemos visto, uno de ellos será par y el otro impar. Sabemos que existen dos naturales $u$ y $v$, de distinta paridad y primos entre sí tales que el cateto par $a$ será $a=2uv$ y el cateto impar $b$ será $b=u^2-v^2$. En particular vemos que $u>v$.
El problema que vamos a resolver es: "Dado un número natural $n$, ¿existe alguna TPP que lo contenga como cateto?". Consideraremos dos casos:
Caso 1: $n$ es impar. Este caso es sencillo: cualquier impar, salvo el 1, puede formar parte como cateto de una TPP. En efecto, $n=\left(\frac{n+1}2\right)^2-\left(\frac{n-1}2\right)^2$, así que ya tenemos los valores de $u$ y $v$. Son de distinta paridad y primos entre sí por una simple razón: son consecutivos.
Es mas interesante, quizá, plantearse en cuántas TPP puede aparecer. Aunque dejaré esta cuestión quizá para otra entrada, cabe resaltar que está muy relacionada con el número de divisores de $n$.
Caso 2: $n$ es par: Partimos de la ecuación $2uv=n$ y del hecho de que $u$ y $v$ tienen distinta paridad y son primos entre sí. Pondremos que $u$ será par y $v$ impar. En seguida se ve que $n$ debe ser múltiplo de 4.
Esta condición también es suficiente. Pongamos que $n=2^rv$ donde $r\geq 2$ y $v$ es impar. Entonces será $u=2^{r-1}$, y es obvio que $u$ y $v$ tendrán distinta paridad y serán primos entre sí. Podría ser, claro, que no se cumpla la condición $u>v$, pero entonces basta con intercambiar sus papeles, es decir, comenzar con que $n=2^ru$ y $v=2^{r-1}$.
En este caso también es interesante (y algo más complejo) el problema de averiguar cuántas TPP existen.
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