Números perfectos

Existen números naturales que son iguales a la suma de sus partes alícuotas (en un lenguaje más moderno, iguales a la suma de sus divisores). Los números con esta propiedad se llaman números perfectos.

Ejemplos:

$$\begin{array}{rcl}6&=&1+2+3\\28&=&1+2+4+7+14\end{array}$$

Obsérvese que en la definición de número perfecto, el propio número no se considera divisor de sí mismo. Esto es una herencia de las matemáticas clásicas. En matemática moderna, la suma de los divisores de un número se representa a veces con la letra griega $\sigma$, y entre los divisores que se suman sí está incluido el propio número. Así, definimos:

Definición: Sea $n$ un número natural. Si $\sigma(n)=2n$ se dice que $n$ es un número perfecto.

Euclides descubrió que todos los números de la forma $m=2^{n-1}\cdot (2^n-1)$ son perfectos, siempre que $2^n-1$ sea primo. En efecto, los divisores de un número de esta forma serán:

• Las potencias de $2$: $1,2,\ldots,2^{n-1}$
• Todos los números anteriores multiplicados por $2^n-1$

Como $2^n-1$ es primo, no hay más divisores. La suma de todos ellos es

$$\begin{array}{rcl}1+2&+&\ldots+2^{n-1}+(2^n-1)(1+2+\ldots+2^{n-1})\\&=&(2^n-1)+(2^n-1)(2^n-1)=2^n(2^n-1)=2m\end{array}$$

donde se ha empleado la fórmula para la suma de una progresión geométrica.

Casi dos mil años más tarde, Euler probó que éstos son los únicos números perfectos pares. Para demostrarlo, necesitamos utilizar el hecho de que $\sigma$ es una función aritmética multiplicativa, es decir, que $\sigma(mn)=\sigma(m)\sigma(n)$ siempre que $m$ y $n$ sean primos entre sí.

Proposición: Si $m$ y $n$ son primos entre sí, entonces $\sigma(mn)=\sigma(m)\sigma(n)$.

Demostración: Si razonamos por inducción, bastará demostrar que si $m\in\mathbb{N}$, $p$ es un primo que no divide a $n$ y $\alpha$ es natural, entonces $\sigma(p^\alpha m)=\sigma(p^\alpha)\sigma(m)$.

Pero los divisores de $p^\alpha m$ son los de $m$, los de $m$ multiplicados por $p$, $\ldots$ y los de $m$ multiplicados por $p^\alpha$, así que

$$\sigma(p^\alpha m)=\sum_{j=0}^\alpha p^j\sigma(m) =\sigma(m) \sum_{j=0}^\alpha p^j=\sigma (p^\alpha)\sigma(m)$$

Teorema: Si $m$ es un número perfecto par, entonces existe un natural $n$ tal que

• $2^n-1$ es primo
• $m=2^{n-1}(2^n-1)$

Demostración:

Supongamos que $m$ es perfecto y par, y que $m=2^rq$ con $r\geq1$ y $q$ impar. (Este tipo de descomposición existe y es única para cualquier natural par). El número $q$ no puede ser 1, ya que si lo fuera, $m$ sería una potencia de $2$, y en ese caso $\sigma(m)=2m-1$.

Al ser $m$ perfecto,

$$\sigma(2^rq)=2^{r+1}q$$

y aplicando la proposición anterior,

$$\sigma(2^rq)=\sum_{j=0}^r 2^j\sigma(q)=(2^{r+1}-1)\sigma(q)$$

es decir, que

$$2^{r+1}q=(2^{r+1}-1)\sigma(q)$$

Como $q\neq 1$ podemos poner $\sigma(q)=q+1+S$ donde $S$ es un entero no negativo, la suma de los divisores de $q$ distintos de $1$ y $q$. Sustituimos y

$$2^{r+1}q=(2^{r+1}-1)(q+1+S)$$

de donde

$$q=(2^{r+1}-1)(S+1)$$

pero entonces, si $S\neq 0$, y por ser $r\geq 1$, los números $q$, $S+1$ y $1$ son divisores distintos de $q$, y entonces $S\geq S+1$, una contradicción. Concluimos que $S=0$, y que $q$ es primo.

Ahora tenemos que $q=2^{r+1}-1$, lo que demuestra el teorema.

Entonces, los primeros números perfectos son:

$$\begin{array}{l}2^1\cdot(2^2-1)=6\\2^2\cdot(2^3-1)=28\\2^4\cdot(2^5-1)=496\\2^6\cdot(2^7-1)=8128\\ \ldots\end{array}$$

Para que $2^r-1$ sea primo, es necesario que $r$ sea primo. En efecto, si $r=st$ (donde $s$ y $t$ son naturales y $1 < s < r$) entonces $2^r-1=(2^s)^t-1$, que es múltiplo de $2^s-1$. Por desgracia (?), no es una condición suficiente. El primer ejemplo de ello es $2^{11}-1=23\cdot 89$. Al menos, existe una condición necesaria bastante restrictiva y sencilla de demostrar con teoría de grupos finitos:

Teorema: Si $p$ es primo y $q$ es un primo que divide a $2^p-1$ entonces $q \equiv_p 1$.

Demostración: La hipótesis implica que $2^p \equiv_q 1$, es decir, que el orden $\mathcal{O}_q(2)$ de $2$ es múltiplo de $p$ en el grupo multiplicativo $(\mathbb{Z}_q)^*$, que tiene $q-1$ elementos. Por el teorema de Lagrange, $q-1$ es múltiplo de $\mathcal{O}_q(2)$ y por tanto de $p$, es decir, $q\equiv_p 1$, como se quería demostrar.

Los números primos de la forma $2^p-1$ se llaman primos de Mersenne. Se desconoce si hay, o no, infinitos de estos números, por lo que se desconoce si el número de perfectos pares es finito.

Sobre los números perfectos impares se sabe muy poco. Se desconoce si hay alguno, aunque hay resultados que restringen su tamaño y propiedades. Aquí (en inglés) se pueden consultar algunos de ellos.